Los numeros enteros (Z)

 

Los números enteros son un conjunto numérico que incluye los números naturales

(1, 2, 3...), el cero (0) y los números negativos (..., -2, -1). Se representan con la letra Z y no tienen partes decimales ni fraccionarias, extendiéndose infinitamente en ambas direcciones en una recta numérica, con los positivos a la derecha y los negativos a la izquierda del cero. Son fundamentales para representar cantidades con signo, como temperaturas bajo cero, deudas o niveles de pisos en edificios.

Características principales:

Composición: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Símbolo: Z (del alemán Zahlen, que significa números).

Subconjuntos: Incluyen los números naturales (Z⁺ o N) y los negativos (Z⁻).

Recta numérica: El cero es el punto central; los positivos a la derecha (mayor valor) y los negativos a la izquierda (menor valor).

Ejemplos de uso:

Temperatura: 10°C (arriba de cero) vs. -5°C (bajo cero).

Finanzas: +100RD$ (ganancia) vs. -50RD$ (deuda).

Ubicación: Planta 3 (positiva) vs. Sótano 2 (negativo).

Operaciones:

Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, siguiendo reglas de signos específicas (por ejemplo, menos por menos es más).

Calcula la longitud de los elementos indicados del siguiente triángulo MNO.

 MNO es un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

En la figura se traza la altura desde el vértice hasta el punto medio de la base . Esa altura está indicada como .

Cálculo de

La altura de un triángulo equilátero se puede calcular usando Pitágoras:

   1. La base cm

   2. El punto medio divide la base en dos segmentos de cm

   3.  Se forma un triángulo rectángulo con:

  -Hipotenusa: cm

  -Cateto: cm

Altura  Cada mitad de la base: cm

 

¿Cómo hallar ternas pitagóricas?

Las ternas pitagóricas son conjuntos de tres números enteros positivos (a, b, c) que cumplen la famosa ecuación del Teorema de Pitágoras: \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\), donde 'c' es siempre la hipotenusa (el lado más largo) y 'a' y 'b' son los catetos de un triángulo rectángulo. El ejemplo más conocido es (3, 4, 5), pero existen infinitas, como (5, 12, 13) o (8, 15, 17), y si multiplicas una terna por cualquier número entero, obtienes otra, como (6, 8, 10).  

 

Existen dos métodos principales:

1. Método clásico (Euclides):

Elige dos números enteros y con , y aplica:

 

Condiciones para que sea primitiva:

• y son coprimos.
• Uno es par y el otro impar.

Ejemplo: :

Terna: (7, 24, 25).

2. Escalar una terna conocida:

Si tienes una terna como (3, 4, 5), puedes multiplicarla por cualquier número entero :

Ejemplo: → (6, 8, 10).

Otro metodo para crear una Terna Pitagorica:

Dos veces su producto:	2 (12 x 8)= 192	2(4 x 3)= 24
Diferencia sus cuadrados:	122 – 82 = 80	42 – 32 = 7
Suma de sus cuadrados:	122 + 82 = 208	42 + 32 = 25

Justificando la construccion de cuadrados con △s ▭s

 

¿Cómo es posible afirmar, sin medir, que los lados tienen la misma longitud?

Cada lado del cuadrado está formado por segmentos provenientes de los triángulos rectángulos congruentes (con lados a, b y c). Como los triángulos son iguales, los segmentos que componen cada lado del cuadrado son iguales en longitud. Por lo tanto, todos los lados del cuadrado son iguales.

¿Cómo es posible afirmar, sin medir, que los ángulos interiores son rectos?

Los ángulos interiores del cuadrado coinciden con los ángulos rectos de los triángulos rectángulos. Como cada triángulo aporta un ángulo de 90°, los cuatro ángulos del cuadrado son rectos.

En resumen, la justificación se basa en las propiedades de las piezas utilizadas (triángulos rectángulos congruentes), no en la apariencia visual.

Calculo de raices inexactas con el Metodo Babilonico.

  

Este método consiste en aproximar la raíz cuadrada de un número utilizando una fórmula iterativa basada en promedios. ≈ (aproximadamente igual a)

 

Pracrtiquemos la clasificacion de los triangulos.

1. Lados: 8 cm, 8 cm y 5 cm

a) Según sus lados:____________

b) Según sus ángulos:_____________

2. Lados: 6 cm, 4 cm y 3 cm

a) Según sus lados: ______________________

b) Según sus ángulos: ___________________________________

3. Un ángulo mayor de 90° y todos los lados diferentes

a) Según sus lados: _____________________

b) Según sus ángulos: _____________________________

4. Lados: 10 cm, 10 cm y 10 cm

a) Según sus lados: ________________

b) Según sus ángulos:_____________________________________________

5. Triángulo rectángulo e isósceles

Clasificación según sus lados: ________________________.

Clasificación según sus ángulos: ____________________________